Bài tập về Hình Nón, Hình Nón cụt

Bài Tập

15. Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bằng 1) (h. 93).

Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón.
b) Độ dài đường sinh.

16. Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.
Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt tròn.

17. Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình 87 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30⁰, độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.

18. Hình ABCD (h. 95) khi quay quanh BC thì tạo ra:

(A) Một hình trụ;
(B) Một hình nón;
(C) Một hình nón cụt;
(D) Hai hình nón;
(E) Hai hình trụ;
Hãy chọn câu trả lời đúng.

19. Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là 16 cm, số đo cung là 120⁰ thì độ dài đường sinh của hình nón là:

(A) 16 cm; (B) 8 cm; (C) 16/3 cm;

(D) 4 cm; (E) 16/5 cm.

Hãy chọn kết quả đúng.

Giải:

Theo bài 16 thì bán kính đường tròn chứa hình quạt độ dài bằng đường sinh của hình nón.

Đầu bài cho bán kính hình tròn chưa hình quạt là 16 cm nên độ dài đường sinh là 16 cm.

Vậy chọn A.

20. Hãy điền đầy đủ vào các ô trống ở bảng sau (xem hình 96)

21. Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ (h. 97). Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).

Giải:

Diện tích vải cần có để làm nên cái mũ diện tích xung quanh của hình nón và diện tích vành nón.

$r = \frac{35 - 10.2}{2} = 7,5$ (cm)

$S_xq =\pi. r. l= 3,14. 7,5. 30 = 706,5 (cm^2)$

$S_{vanh non}= \pi(\frac{35}{2})^2 - \pi .7,5^2 =250\pi= 785 (c m^2)$

Vậy diện tích vải cần có là:

S = S_xq + S_{Vành nón}= 706,5 + 785 = 1491,5 (cm²)

22. Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm theo (AO = OB).

Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích hình trụ.

Giải:

Chiều cao của hình nón là: $\frac{h}{2}$

Thể tích của hai hình nón là:

2V_nón= $2.\frac{1}{3} \pi .R^2 .\frac{h}{2}= \frac{\pi R^2 h}{3}$

Thể tích của hình trụ:

V_trụ = πR²h

Nên $\frac{2V_{non}}{V_{tru}}= \frac{\frac{\pi R^2 h}{3}}{\pi R^2 h}= \frac{1}{3}$

Luyện Tập

23. Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (hình 99) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA).

Giải:

Diện tích hình quạt :

$S_q = \frac{\pi r^2 n^o}{360^o}= \frac{\pi.l^2.90}{360}=\frac{\pi.l^2}4$

Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = π.r.l

Theo đầu bài ta có: Sxq= Sq => π.r.l= $\frac{\pi.l^2}4$

Vậy l = 4r

Suy ra sin(a) = $\frac{r}l$ = 0,25

Vậy a = 14^o28’

24. Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16 cm, số đo cung là 120⁰. Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:

A) $\frac{\sqrt{2}}4$ (B) $\frac{\sqrt{2}}2$ (C) $\sqrt{2}$ (D) 2 $\sqrt{2}$

Giải:

Đường sinh của hình nón là l = 16. Độ dài cung AB của đường tròn chưa hình quạt là $\frac{32. \pi}{3}$ , chu vi đáy bằng suy ra r = 2πr suy r = $\frac{16}{3}$

Trong tam giác vuông AOS có: $h= \sqrt{16^2- (\frac{16}{3})^2}= 16\sqrt{\frac{8}{9}}= \frac{32}{3}\sqrt{2}$

tg(a) = $\frac{r}{h}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

25. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b (a < b) và độ dài đường sinh là (a, b, có cùng đơn vị đo).

Giải:

Kí hiệu như hình vẽ. Ta có hai tam giác vuông AO’C và AOB đồng dạng vì có góc chung.

Nên $\frac{l_1}{l - l_1}= \frac{a}b$ => $l_1 = \frac{a}bl- \frac{a}bl_1$

=> $(1+\frac {a}b)l_1 = \frac{a}{b}l$ => $l_1 = \frac{a}{a+b}l$

Diện tích xung quanh của hình nón lớn:

S_{xq nón lớn}= π.r.l =π.b.l

Diện tích xung quanh của hình nón nhỏ:

S_{xq nón nhỏ}= π.r.l₁= π.a. $\frac{a}{a+b}l$ = π. $\frac{a^2}{a+b}l$

Diện tích xung quanh của hình nón cụt:

S_{xq nón cụt}= S_{xq nón lớn}-S_{xq nón nhỏ}

= $\pi b l - \pi \frac{a^2}{a +b}l=(b-\frac{a^2}{a+b})\pi l$

= $(\frac{b^2+ab- a^2}{a+b})\pi l$

Bài 26 Hãy điền đầy đủ vào các ô trống cho ở bảng sau (đơn vị độ dài: cm):

Giải:

Dòng thứ nhất: d = 2r =10

$l = \sqrt{h^2 + r^2}=\sqrt{12^2+5^2}= \sqrt{169}=13$

$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} 3,14 . 5^2 . 12 = 314$

Dòng thứ hai: r = $\frac{d}{2}$ = 8

$l = \sqrt{h^2 + r^2}=\sqrt{15^2+8^2}= \sqrt{289}=17$

$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} 3,14 . 8^2 . 15 = 1004,8$

Các dòng thứ ba, thứ tư ta làm tương tự

Ta được bảng sau:

27. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình 100.
Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này.
b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).

Giải: a) Thể tích cần tính gồm một hình trụ, đường kính đáy 1,4m, chiều cao 70cm, và một hình nón, bán kính đáy bằng bán kính hình trụ, chiều cao hình nón bằng 0,9m.

Thể tích hình trụ: V_trụ = πR²h = 3,14. $(\frac{1,4}{2})^2$ . 0.7 ≈ 1,077 (m³)

Thể tích hình nón: V_nón= (1/3). 3,14. $(\frac{1,4}{2})^2$ .0,9 = 0,462 (m³)

Vậy thể tích cái phễu:

V = V_trụ+ V_nón= 1,077 + 0,462 = 1,539 (m³)

b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích xung quanh hình nón. Đường sinh của hình nón là:

$l = \sqrt{h^2 + r^2}=\sqrt{0,9^2+(1,4/2)^2}= \sqrt{1,3}=1,14(m)$

S_{xq trụ}= 2πrh = 2.3,14. $\frac{1,4}{2}$ . 0,7= 3,077 (m²)

S _{xq nón} = πrl = 3,14. $\frac{1,4}{2}$ .1,4 = 2,506 (m²)

Vậy diện tích toàn phần của phễu:

S= S_{xq trụ}+ S _{xq nón} = 3,077 + 2,506 = 5,583 (m²)

28. Một cái xô bằng inốc có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước cho ở hình 101 (đơn vị: cm).
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu ?

Giải

a) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình xung quanh của hình nón cụt và diện tích hình tròn đáy có bán kính 9cm.

Đường sinh của hình nón lớn là l = 36 + 27 = 63 cm.

Diện tích xung quanh của hình nón lớn, hình nón nhỏ:

S _{xq nón lớn} = πrl = 3,14.21.63 =4154,22 (cm²)

S _{xq nón nhỏ} = 3,14.9.27 =763,02 (cm²⁾

Diện tích xung quanh của hình nón cụt:

S _{xq nón cụt} = S _{xq nón lớn}-S _{xq nón nhỏ}= 4154,22 – 763,02 = 3391,2 (cm²)

Diện tích hình tròn đáy:

S_{hình tròn đáy}= ²= 3,14.9²= 254,34 (cm²)

Diện tích mặt ngoài của xô:

S = S _{xq nón cụt}+ S_{hình tròn đáy}= 3391,2 + 254,34 = 3645,54 (cm²)

b) Chiều cao của hình nón lớn:

h= $\sqrt{63^2 + 21^2}$ = 59,397 (cm)

Chiều cao của hình nón nhỏ:

h’ = $\sqrt{27^2 - 9^2}$ = 25,546 (cm)

Thể tích của hình nón lớn:

V_{hình tròn lớn}= (1/3)πrh = (1/3). 3,14.21².59,397 = 27416,467 (cm³)

Thể tích hình nón nhỏ:

V_{hình tròn nhỏ}= (1/3)πrh = (1/3). 3,14.9².25,456 = 2158,160 (cm³)

Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là:

V= V_{hình tròn lớn}-V_{hình tròn nhỏ}= 27416,467 – 2158,160 = 25258 (cm³)

= 25,3 (dm³)

29. Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê (từ tác phẩm của Xéc-van-téc (Cervantès))
Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (h. 102). Chiều cao của hình nón là 42 cm và thể tích của nó là 17 600 cm³.
Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).